Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 9 № 508

В 1970−х годах были разработаны арамидные волокна, получившие название «кевлар». Этот материал в пять раз прочнее стали, но при этом значительно легче алюминия (плотность алюминия 2,7 г/см3, а плотность кевлара 1,5 г/см3). В 2017 году совершил свой первый полёт пассажирский самолёт МС−21 «Иркут», в конструкции которого использовался кевлар, что позволило сделать машину легче и прочнее.

1) Во сколько раз масса крыла из алюминия будет больше массы аналогичного по размерам и конструкции крыла из кевлара?

2) На заводе изготовили два корпуса самолёта — один из алюминия, а второй из кевлара. Внешний объём у корпусов одинаковый. Во сколько раз объём использованного кевлара превышает объём использованного алюминия, если средняя плотность кевларового корпуса в 1,65 раз меньше средней плотности алюминиевого корпуса? Ответ округлите до десятых.

 

Ответ: 1) раз     2) раз

Решение.

1. По условию объемы крыльев из кевлара и алюминия равны. Масса находится по формуле m=\rho V. Тогда отношение масс равно

 дробь, числитель — {{m}_{}}, знаменатель — {{m _{}}}= дробь, числитель — {{\rho }_{}}, знаменатель — {{\rho _{}}}= дробь, числитель — 2,7, знаменатель — 1,5 =1,8.

2. Средняя плотность корпуса из алюминия равна {{\rho }_{1}}= дробь, числитель — {{m}_{a}} плюс {{m}_{1}}, знаменатель — V , где {{m}_{1}} — масса воздуха внутри алюминиевого корпуса. Аналогично средняя плотность корпуса из кевлара равна {{\rho }_{2}}= дробь, числитель — {{m}_{k}} плюс {{m}_{2}}, знаменатель — V , где {{m}_{2}} — масса воздуха внутри кевларового корпуса.

Из условия соотношения между средними плотностями корпусов следует, что

 дробь, числитель — {{m}_{a}} плюс {{m}_{1}}, знаменатель — V = дробь, числитель — {{\rho }_{k}}, знаменатель — {{\rho _{}}} умножить на дробь, числитель — {{m}_{k}} плюс {{m}_{2}}, знаменатель — V ,

{{\rho }_{a}}{{V}_{a}} плюс {{m}_{1}}= дробь, числитель — {{\rho }_{a}}, знаменатель — {{\rho _{k}}}({{\rho }_{k}}{{V}_{k}} плюс {{m}_{2}}).

Можно считать, что массы воздуха внутри корпусов самолетов отличаются друг от друга незначительно, поэтому

{{\rho }_{a}}{{V}_{a}}= дробь, числитель — {{\rho }_{a}}, знаменатель — {{\rho _{k}}}{{\rho }_{k}}{{V}_{k}}

Тогда

 дробь, числитель — {{V}_{k}}, знаменатель — {{V _{a}}}= дробь, числитель — {{\rho }_{k}}, знаменатель — {{\rho _{}}} дробь, числитель — {{\rho }_{a}}, знаменатель — {{\rho _{k}}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 1,65 умножить на дробь, числитель — 2,7, знаменатель — 1,5 \approx 1,1.

Ответ: 1,8; 1,1.